原理理解
HBOS(Histogram-based Outlier Score)算法是非参数的异常检测算法。
非参数方法
非参数的方法通常分为两步
- 构建直方图：使用输入数据（训练数据）构造一个直方图。该直方图可以是一元的，或者多元的（如果输入数据是多维的）。
尽管非参数方法并不假定任何先验统计模型，但是通常确实要求用户提供参数，以便由数据学习。例如，用户必须指定直方图的类型（等宽的或等深的）和其他参数（直方图中的箱数或每个箱的大小等）。与参数方法不同，这些参数并不指定数据分布的类型。 - 检测异常点：为了确定一个对象是否是异常点，可以对照直方图检查它。在最简单的方法中，如果该对象落入直方图的一个bin中，则该对象被看作正常的，否则被认为是异常点。
对于更复杂的方法，可以使用直方图赋予每个对象一个异常点得分(outlier scores)。例如令对象的异常点得分为该对象落入的bin的容积的倒数。
使用直方图作为异常点检测的非参数模型的一个缺点是，很难选择一个合适的bin的尺寸。一方面，如果bin尺寸太小，则许多正常对象都会落入空的或稀疏的箱中，因而被误识别为异常点。另一方面，如果bin尺寸太大，则异常点对象可能渗入某些频繁的bin中，因而“假扮”成正常的。
HBOS是一种基于直方图的单变量方法的组合，不能对特征之间的依赖关系进行建模，但是计算速度快，对大数据集友好。其基本假设是数据集的每个维度相互独立。然后对每个维度进行区间(bin)划分，区间的密度越高，异常评分越低。
HBOS算法流程
1.为每个数据维度做出数据直方图。对分类数据统计每个值的频数并计算相对频率。对数值数据根据分布的不同采用以下两种方法：
- 静态宽度直方图：标准的直方图构建方法，在值范围内使用k个等宽箱。样本落入每个桶的频率（相对数量）作为密度（箱子高度）的估计。时间复杂度：$O(n)$
- 2.动态宽度直方图：首先对所有值进行排序，然后固定数量的$\frac{N}{k}$个连续值装进一个箱里，其中N是总实例数，k是箱个数；直方图中的箱面积表示实例数。因为箱的宽度是由箱中第一个值和最后一个值决定的，所有箱的面积都一样，因此每一个箱的高度都是可计算的。这意味着跨度大的箱的高度低，即密度小，只有一种情况例外，超过k个数相等，此时允许在同一个箱里超过$\frac{N}{k}$值。
时间复杂度：$O(n\times log(n))$排序时间复杂度
2.对每个维度都计算出了一个独立的直方图，其中每个箱子的高度表示密度的估计。然后为了使得最大高度为1（确保了每个特征与异常值得分的权重相等），对直方图进行归一化处理。最后，每一个实例的HBOS值(即异常评分)由以下公式计算：
其中：$hist_i(p)$是bin的概率密度，这个公式的意思是，概率密度越低，那么$\text{hist}_i(p)$就越小，那么$\log \left(\frac{1}{\text {hist}_{i}(p)}\right)$就越大，所以异常评分就越高。
$$ H B O S(p)=\sum_{i=0}^{d} \log \left(\frac{1}{\text {hist}_{i}(p)}\right) $$
推导过程：
假设样本p第 i 个特征的概率密度为$p_i(p)$ ，则p的概率密度可以计算为：
$$ P(p)=P_{1}(p) P_{2}(p) \cdots P_{d}(p) $$
两边取对数：
$$ \begin{aligned} \log (P(p)) &=\log \left(P_{1}(p) P_{2}(p) \cdots P_{d}(p)\right) =\sum_{i=1}^{d} \log \left(P_{i}(p)\right) \end{aligned} $$
概率密度越大，异常评分越小，为了方便评分，两边乘以“-1”：
$$ -\log (P(p))=-1 \sum_{i=1}^{d} \log \left(P_{t}(p)\right)=\sum_{i=1}^{d} \frac{1}{\log \left(P_{i}(p)\right)} $$
最后可得：
$$ H B O S(p)=-\log (P(p))=\sum_{i=1}^{d} \frac{1}{\log \left(P_{i}(p)\right)} $$
算法总结
1.异常检测的统计学方法由数据学习模型，以区别正常的数据对象和异常点。使用统计学方法的一个优点是，异常检测可以是统计上无可非议的。当然，仅当对数据所做的统计假定满足实际约束时才为真。
2.HBOS在全局异常检测问题上表现良好，但不能检测局部异常值。但是HBOS比标准算法快得多，尤其是在大数据集上。
代码实现
代码使用的是著名的Python异常检测库 pyod完成，首先导入所需的库：
import os
import sys
from pyod.models.hbos import HBOS # HBOS模型类
from pyod.utils.data import generate_data # 生成假数据
from pyod.utils.data import evaluate_print # 衡量指标print
from pyod.utils.example import visualize #可视化设置生成的样本数和异常值比例
contamination = 0.1 # 异常样本的比例
n_train = 200 # 训练样本数
n_test = 100 # 测试样本数生成数据
# 生成数据
X_train, X_test, y_train, y_test = generate_data(
n_train=n_train,
n_test=n_test,
n_features=2,
contamination=contamination,
random_state=42,
behaviour='new'
)查看数据大小，其中y是标签，等于1时是异常样本，等于0时是正常样本
X_train.shape, y_train.shape, X_test.shape, y_test.shape((200, 2), (200,), (100, 2), (100,))构建并训练模型，HBOS可以设置如下参数：
- alpha：正则项，默认0.1，避免溢出
- tol:在样本落在bin外面时候的容忍度，默认为0.5
- contamination:异常样本的比例，默认0.1
clf_name = 'HBOS'
clf = HBOS()
clf.fit(X_train)HBOS(alpha=0.1, contamination=0.1, n_bins=10, tol=0.5)接下来，获取模型对training data的预测标签和异常分数(outlier scores)
y_train_pred = clf.labels_ # 二元标签 (0: inliers, 1: outliers)
y_train_scores = clf.decision_scores_ # raw outlier scores对testing data做预测和计算异常分数
y_test_pred = clf.predict(X_test) # outlier 标签 (0 或 1)
y_test_scores = clf.decision_function(X_test) # outlier scores
分布衡量模型在traning data和test data上的性能，evaluate_print的调用方式为
evaluate_print(模型名字, 真实的target向量, outlier scores)
print("\nOn Training Data:")
evaluate_print(clf_name, y_train, y_train_scores)
print("\nOn Test Data:")
evaluate_print(clf_name, y_test, y_test_scores)On Training Data:
HBOS ROC:0.9947, precision @ rank n:0.8
On Test Data:
HBOS ROC:0.9744, precision @ rank n:0.6可视化，visualize的调用方式为
visualize(模型名字, 训练标签, 真实训练标签, 测试数据, 真实测试标签, 训练异常分数, 测试浴场分数, show_figure=是否显示图片, save_figure=是否保存图片)
visualize(clf_name, X_train, y_train, X_test, y_test, y_train_pred,
y_test_pred, show_figure=True, save_figure=False)